「算数は答を求めるもの」と、思ってはダメです。
素数は5年生で習います。素因数分解は中学1年生で習いますが、5年生でも理解できます。
２００１９１１８４６を素因数分解する
次の に入る数字を答えよ。
- 2001911846÷11=
- 2001911846÷11÷11= 上の問題の答を使えば、簡単です。
- 2001911846÷11÷11÷11= 上の問題の答を使えば、簡単です。
- 2001911846÷11÷11÷11÷2= 752033は素数です。
２００１９１１８４６＝１１×１１×１１×２×７５２０３３と素因数分解されました。素因数分解とは、ある数を素数のかけ算で表す事です。
下の画像は、２００１９１１８４６の素因数分解を筆算で行なったものです。
２００１９１１８４６を素因数分解するの答
Ｂ.１６５４４７２６、Ａ.１８１９９１９８６、Ｃ.１５０４０６６、Ｄ.７５２０３３です。次の説明の為に順番を入れ替えてあります。
高校でも習わない１１の倍数の見分け方
上の答(ＢとＡ)とＡ.の問題の２００１９１１８４６は、全て、１１の倍数です。
１１の倍数の見分け方には、3種類ありますが、ここでは、計算が簡単な方法で説明します。(下から数えて)奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和を計算します。結果が１１の倍数か、どうかで判断します。(０も１１の倍数です)
- 16544726の場合。奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和=
(6+4+7+6)－(1+5+4+2)=23－12=11(=11×1) - 181991986の場合。(1+1+9+9+6)－(8+9+1+8)=26－26=0(=11×0)
- 2001911846の場合。 (0+1+1+8+6)－(2+0+9+1+4)=16－16=0(=11×0)
16544726、181991986、2001911846は、１１の倍数です。
証明など詳しくは
11の倍数の見分け方 足す方法と引く方法へ
11の倍数に関する問題（ジュニア数学オリンピックに出る小学生には難しい問題）
- 3桁の数字【□３５】の□に0～9の数字を入れて、11の倍数にします。何を入れたら良いでしょう。
- 6桁の数字、【３１４□１５】の□に0～9の数字を入れて、11の倍数にします。何を入れたら良いでしょう。
11の倍数に関する問題の答
- 上記の方法でやると、□３５。奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和=(□+5)－3=□+2が11の倍数になればよいので、□=9です。
３１４□１５。奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和=(1+□+5)－(3+4+1)=□－2が11の倍数になればよいのですが、□－2=11とは、なれないので、□－2=0です。よって、□=2です。
4の倍数に関する問題（小学生でもできる問題）
- 1から1000までの整数のうち、4の倍数は、何個ありますか。
- 1から1000までの4の倍数のうち、小さい方から100番目の数は何ですか。
4の倍数に関する問題 の答
- 答：２５０個。
１番目の4の倍数=4=4×1。２番目の4の倍数=8=4×2。……２５０番目の4の倍数=1000=4×250。 - 答：100番目の数は４００：
１番目：4×1=4。２番目：4×2=8。……100番目：4×100=400。
最大公約数と最小公倍数と素因数分解(あくまで参考)
最大公約数と最小公倍数を求める 以下のやり方を覚えてはダメです。
２４と６０を素因数分解すると、
２４=２×２×３×２(素因数分解は素数を小さい順に並べますが、ここでは順番を変えています)
６０=２×２×３×５
２４と６０の共通の素因数は２×２×３で、これが最大公約数１２になります。
この１２に、共通でない２と５をかけると最小公倍数１２０になります。
１を素数に入れないのは、素因数分解の一意性を保つ為
１を素数に入れないのは、素因数分解が１通りに決まらないからです(素因数分解の一意性という)。
６０=２×２×３×５ですが、１を素数に入れると、６０=２×２×３×５×１=２×２×３×５×１×１などのように、無限通りの素因数分解ができてしまいます。そうすると、大学院の数学レベルで、やっかいな事が起きるそうです。
倍数の判定法いろいろ
３の倍数の判定法。各位の数を足して３の倍数になるかどうかで判定する。
例：１６１４の場合、１＋６＋１＋４＝１２。１２は３の倍数なので、１６１４は、３の倍数である。
４の倍数の判定法。下２桁だけで判定する。
例：・・・３６。・・・にどんな数字があろうとも、下２桁の３６を見て、４の倍数と判定する。・・・をA、下２桁をBとすると、・・・３６＝100A＋B＝4×25A＋Bと表せる。Bが４で割り切れれば、100A＋Bも４で割り切れる
６の倍数の判定法。３の倍数かつ２の倍数であればよい。
例：１６１４。１の位が４（偶数）であるから２の倍数、よって、１６１４は６の倍数。
８の倍数の判定法。下３桁だけで判定する。
例：・・・１３６。・・・にどんな数字があろうとも、下３桁が１３６（８の倍数）なので、８の倍数と判定する。
９の倍数の判定法。各位の数を足して判断する。
例：１６８３の場合、１＋６＋８＋３＝１８。１８は９の倍数なので、１６８３は、９の倍数である。
説明：ABCDと並ぶ４桁の数は1000A+100B+10C+D＝999A+99B+9C+A+B+C+Dと表せる。下線の部分は、明らかに９の倍数だから、A+B+C+Dが９の倍数かどうかで決まる。