草加寺子屋 新学習プリント3×3魔方陣

草加寺子屋は、草加市が運営する無料学習塾です。 計算問題だけでは、退屈するので、3×3魔方陣の問題を追加しました。問題は3つ。

魔方陣の問題

全て、3×3の魔方陣です。それぞれ、解は１つ求めれば良いとします。

1. 1～9の数字を1回ずつ使って縦横斜めの合計が15になるようにマスを埋める。一般的な3×3魔方陣。(魔法陣は魔術で用いられる図)

   ヒント。「3×3魔方陣の真ん中の数は５、隅は偶数に限る」

2. 2 4 6 8 10 12 14 16 18の9つの偶数を1回ずつ使って縦横斜めの合計が30(15の倍)になるようにマスを埋める。

   ヒント1。問題１の解答を利用する(易しい)。

   ヒント2。10月8日の草加寺子屋の学習プリントで、以下の問題が出題されました。次の偶数を２×□の式で表しましょう。
   ・８　答＝2×４　　・２０　答＝2×１０　　・４２　答＝2×２１

3. 1 3 5 7 9 11 13 15 17の9つの奇数を1回ずつ使って縦横斜めの合計が27になるようにマスを埋める。

   ヒント1。これも、問題１の解答を利用しますが、難しい3×3魔方陣の問題です。

   ヒント2。10月8日の草加寺子屋の学習プリントで、以下の問題が出題されました。次の奇数を２×□+１の式で表しましょう。
   ・１５　答＝2×７＋１　　・３１　答＝2×１５＋１

魔方陣の解答

1. 1～9の数字を使う問題の解答の例

   「3×3魔方陣の真ん中の数は５、隅は偶数に限る」についての詳しい説明は、魔方陣の真ん中は５をプログラムで自動に解くへ
   解答の例として、以下のようなものが考えられますが、対角線、上下の対称を考えると、同じです。

   対称を除けば、3×3魔方陣の作り方は１通りです。3×3魔方陣の作り方は何通り

2. 2～18の数字を使う問題の解答の例

   問題１は、1 2 3 4　5　6　7　8　9を使いました。
   問題２は、2 4 6 8 10 12 14 16 18を使います。

   問題１の答の数字を、全て２倍すれば、問題２の解になります。

   魔方陣の１列の合計が30になる理由。３列の合計＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝90ですから、１列の合計は30です。
   ３列の合計の計算は、順番を並べ替えて、
   2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝
   (2＋18)＋(4＋16)＋(6＋14)＋(8＋12)＋10＝
   20×４＋20×0.5＝20×4.5＝90となります。
   これは、結局、(最初の2＋最後の18)×(数字の個数 9)÷２という計算になります。高校数学Bで習う等差数列の和です。

   小学生でも高校の数学が理解できる

   高校生の中で、この等差数列の和を理解できない人は、思ったよりもいます。高校では、文字(AとかX)を使って、抽象的に考えるからです。

   小学生でも、具体的な数字で考えれば、なんとなく理解できると思います。具体的に理解した後なら、抽象的、厳密な説明も理解し易くなります。よって、小学生には無理だ、と考えないで、難しそうな事にチャレンジしてください。

3. 1～17の数字を使う問題の解答の例

   問題１は、1 2 3 4 5　6　7　8　9を使いました。
   問題３は、1 3 5 7 9 11 13 15 17を使います。

   問題１の答の数字を、全て２倍して１を引けば、問題３の解になります。

   １列の合計が27になる理由を考えてみましょう。

草加寺子屋 新プリント英単語のスペルの原則1

漢字の書き取り問題だけでは退屈なので、英単語のスペルの問題を追加しました。

子音と母音と長母音　アルファベット読みとローマ字読み

• 「か」をローマ字で書くと「KA」となります。「K」が子音で「A」が母音です。
• イチロウは、日本式ローマ字で、Itirouと書きます「ou」や「ai」等を長母音と言います。
• 大リーグのイチローは、ヘボン式ローマ字で、Ichiroと書きます。外国では、ヘボン式が主流です。ち=CHI、ちゃ=CHA、し=SHI、しゃ=SHA。ピーチのスペルはpeachで、チーズのスペルはcheeseです。
• 帽子capは、キャップで、「a」を「ア」[ae]と読むのが、ローマ字読み。岬capeはケイプで、「a」を「エイ」と読むのが、アルファベット読み。『ABCの歌』(きらきら星)。grapeは、グラッペではなく、グレイプとアルファベット読みします。
• Cは基本的に「クッ」と読むのですが、Cの直後に来る母音が「E、I、Y（Yは時々母音の役割もする）の時は、S＝「ス」という音で読みます。Center(センター), City(シティ),Cycling(サイクリング)。

以下の説明は原則です。カタカナ発音は説明の為に便宜的に使っています。発音をカタカナで覚えてはいけません。発音は、ネイティブに習ってください。

カタカナ発音からおおよそスペルがわかる英単語の問題

これ以外の母音は、大体ローマ字読みで大丈夫。カタカナ発音と(日本語の意味)が書いてある英単語のスペルを答えてください。

1. エイai

   • スネイル(かたつむり)
   • ウエイスト(うえすと)
   • ネイル(つめ)
   • レイン(雨)
   • マウンテイン(山)
   • トレイン(列車)
2. イーea

   • ピーナッツ
   • ビーン(豆)
   • ビーン sprout(もやし)
   • クリーム
   • ティー(茶)
   • ピーチ
   • ジーンズ
   • ティーチャー
   • シーズン(季節)
   • (シー)海
   • ビーチ
   • イート(食べる)イートイン
   • クリーナー(掃除機)
   • スピーカー(話す機械)
3. ウーoo

   • フード(食べ物)
   • ヌードル(めん)
   • ルーム(部屋)
   • マッシュルーム(きのこ)マはmaではなくmu
   • スクール
   • アフタヌーン(午後)
   • フート(足)フットボールのスペルと同じ
   • トゥース(歯)
   • ルーフ(屋根)
   • ズー(動物園)
   • ブーツ(長い靴)シューズ、ソックスなどペアで使われるものは複数形のsがつく
   • クーラー
   • グード(良い)
   • スプーン
4. オーor

   • コーン(とうもろこし)
   • ポーク(豚肉)
   • フォーク
   • スポーツ
   • ストーム(嵐)
   • オーレンジ。レの所はreではない
   • airポート(空港)
   • フォーティ(40)
   • モーニング(朝)
   • ショート(短い)
   • ホース(馬)。水を出すhoseは、ホウス。eで終わる英単語の発音を参照
5. イーie　「i」は「e」の前に来て、「ie」となる

   • クッキー
   • ムービー(映画)ムはmuではなくmo
   • フィールド(畑)
   • ビリーブ(信じる)
6. イー　ei「c」の後だけは「ei」となる

   • シーリング(天井)
   • レシーブ(受ける)。サーブレシーブ serve receive。

カタカナ発音からスペルがわかる英単語の答

1. エイai

   • snail
   • waist
   • nail
   • rain
   • mountain
   • train
2. イーea

   • peanut
   • bean
   • bean sprout
   • cream
   • tea
   • peach
   • jeans
   • teacher
   • season
   • sea
   • beach
   • eat
   • cleaner
   • speaker
3. ウーoo

   • Food
   • noodles
   • room
   • mushroom
   • school
   • afternoon
   • foot
   • tooth
   • roof
   • zoo
   • boots
   • cooler
   • good
   • spoon
4. オーor

   • corn
   • pork
   • fork
   • sports
   • storm
   • orange
   • airport
   • forty
   • morning
   • short
   • horse
5. イーie　「i」は「e」の前に来て、「ie」となる

   • cookie
   • movie
   • field
   • believe
6. イーei　「c」の後だけは「ei」となる

   • ceiling
   • receive

原則から少しはずれる英単語の問題

カタカナ発音と(日本語の意味)が書いてある英単語のスペルを答えてください。

1. aiがエイにならない

   • カーテン
2. eaがイーにならない

   • ブレッド(ぱん)
   • ヘッド(頭)
   • スウェタ(セーター)スポーツ選手が汗をかいて減量する為に着た
   • スウェット(汗)スウェットシャツは汗をよく吸う
   • ウェザー(天気)ウェザーリポート天気予報
3. ooがウーにならない

   • クッキー
   • ブラッド(血液)
   • フロアー(床)2階＝2Floor
   • ブック
   • クック(料理)
   • ルック(見る)
4. orがオーにならない

   • カラー(色)
   • ミラー(鏡)
   • ドクター(医者)

原則から少しはずれる英単語の答

1. aiがエイにならない

   • カーテン(curtain)
2. eaがイーにならない

   • ブレッド(bread)
   • ヘッド(head)
   • スウェタ(sweater)
   • スウェット(sweat)
   • ウェザー(weather)
3. ooがウーにならない

   • クッキー(cookie)
   • ブラッド(blood)
   • フロアー(floor)
   • ブック(book)
   • クック(cook)
   • ルック(look)
4. orがオーにならない

   • カラー(Color)
   • ミラー(mirror)
   • ドクター(doctor)

eで終わる英単語の発音

eで終わる英単語の子音の前の発音は長母音で、アルファベット読みになる。（原則）

1. a+子音+e エイ：
   • lake レィク
   • cake ケィク（ケーキ）
   • make メィク
   • made メィド
   • scale スケィル（スケール規模、物差し）
2. i+子音+e アイ：
   • strike ストライク
   • like ライク
   • mike マイク
   • bike バイク
   • side サイド（側わき）
   • kite カイト（凧）
3. u+子音+e ユー：
   • tube チューブ
   • cube キューブ（立方体）ルービックキューブはどんな形？
   • huge ヒュージ（巨大な）
4. e+子音+e イー：
   • delete デリート（削除）
   • e+子音+eで終わる英単語の例は少ない。例外：collegeカレッジ
5. o+子音+e オウ：
   • rope ロウプ（ロープ）
   • hope ホウプ
   • slope スロウプ（斜面）

詳しくはeで終わる英単語の発音へ

草加寺子屋 新学習プリント素因数分解パズル2

計算問題だけでは、つまらないので、新しい問題を追加しました。

素数は5年生で習います。素因数分解は中学1年生で習いますが、5年生でも理解できます。素因数分解とは、ある数を素数のかけ算で表す事です。

素因数分解パズルの例題

下の画像の16マスに1～9の数字を入れ、横行の４個の数字の積が、右の数字と一致し、縦列の４個の数字の積が、下の数字と一致するようにします。

例題の答とヒント

答はいくつもあるので、そのうちの１つだけを求めます。（例題ですから）

考え方の例。横４行の積は30(2×3×5)なので、横４行のどこかに2が入ります。しかし、縦Ｃ列、Ｄ列の積は奇数なので、2が入れるのは、Ａ４かＢ４です。とりあえず、Ａ４に2を入れます。

同じ様に横３行の積は30なので、横３行のどこかに2が入ります。2が入れるのは、Ａ３かＢ３です。とりあえず、Ａ３に2を入れます。

縦Ａ列を考えると、Ａ１とＡ２には、1と3が入ります。とりあえず、Ａ１に1、Ａ２に3を入れます。

横２行の積は18(偶数)なので、横２行のどこかに、2が入ります。しかし、縦Ｃ列、Ｄ列の積は奇数なので、2が入れるのは、Ｂ２です。

横１行の積は15、縦Ｄ列の積も15なので、Ｄ１に5を入れてみます。

横３行の積は30、縦Ｂ列の積も30なので、Ｂ３に5を入れてみます。同様に、横４行の積は30、縦Ｃ列の積は45なので、Ｃ４に5を入れてみます。

残りの８マスには、1、3、9が入ります。適当にやっても答に到達できます。

例題の答のうちの１つが下図です。答は、これ以外もあります。

素因数分解パズルの問題1 易しい

1を使わないというルールにします。素数に１を入れない理由と関係します。

右と下にある「2357」などの数字は、210=2×3×5×7と素因数分解されるというヒントになっています。

問題1の答とヒント

この問題に対する答えは１つだけなので、易しい問題です。

問題1の答の緑の数字が確定する

縦Ｄ列の積=735=3×5×7×7と素因数分解されます。つまり、縦Ｄ列には7が２個入るという事です。しかし、横２行、横４行の積は７の倍数ではないので、Ｄ２,Ｄ４に7は入れません。よって、Ｄ１,Ｄ３に7が入る事になります。縦Ｄ列の残りの数字は、3と5です。ここで、横２行の積は、５の倍数ではないので、Ｄ４に5、Ｄ２に3が入ります。

縦Ｃ列の積=250=2×5×5×5と素因数分解されます。横２行の積=24は５の倍数ではないので、Ｃ２には2が入り、他の３マスには5が入ります。

縦Ａ列の積=36=2×2×3×3と素因数分解されます。横３行、横４行の積は奇数なのでＡ３,Ａ４に2は入れません。よって、Ａ１,Ａ２に2、Ａ３,Ａ４に3が入ります。

縦Ｂ列の４マスが残っていますが、横行の積を考えれば答に到達します。下図が答です。

素因数分解パズルの問題2 難しい

マスの中に入れる数字は2～9です。

Ａ１,Ｄ１に入る数字が２通りあるので、途中、場合分けをします。さらに、場合分けをする事もあります。よって、難しい問題です。結局、答が３つ出ます。

考え方も複数あります。以下の説明は、そのうちの１つです。１通りに決まるマスから考えます。

問題2の答の緑の数字が確定する

縦Ｂ列の積=54=2×3×3×3と素因数分解されます。横３行、横４行の積は奇数なので、Ｂ３,Ｂ４に2は入れません。Ｂ３,Ｂ４には、3が入る事になります。

縦Ｃ列の積=60=2×2×3×5と素因数分解されます。横３行、横４行の積は奇数なので、Ｃ３,Ｃ４に2は入れません。２つの2は、Ｃ１,Ｃ２に入る事になります。

ここで、横２行を考えます。横２行で残っている数字は、2と2と3です。また、縦Ａ列の積は奇数です。よって、Ａ２に2は入れないので、3が入ります。

横２行で残っている数字は、2と2になりました。空きマスは、Ｂ２,Ｄ２ですから、そこに2が入ります。

縦Ｂ列を見ると、空きマスはＢ１だけなので、そこに3が入ります。

縦Ａ列を考えます。縦Ａ列の残りの数は、5と5と7です。横４行の積=225は7の倍数ではないので。Ａ４に7は入れず、5が入ります。

ここで、横１行の残りの空きマスについて考えると、Ａ１,Ｄ１は、5,7か7,5です。

Ａ１,Ｄ１が5,7の場合

縦Ａ列の唯一の空きマスに7が入ります。全体を見渡すと、残りの空きマスは、右下隅のＣ３,Ｄ３,Ｃ４,Ｄ４です。

Ｃ３に入れるのは、3と5なので、場合分けをします。まず、Ｃ３が3の場合は、Ｄ３が5に、Ｃ４が5、Ｄ４が3になります。下図が答になります。

Ｃ３が5の場合は、3と5を入れ替えた答になります(下図)。

Ａ１,Ｄ１が7,5の場合

縦Ａ列の唯一の空きマスに5が入ります。残りの空きマスは、右下隅のＣ３,Ｄ３,Ｃ４,Ｄ４です。

横３行を見ると、Ｃ３に入るのは、3か7ですしかし、縦Ｃ列の積=60は7の倍数ではないので、7は入れず、3が入ります。残りの空き３マスに7,5,3を入れて、下図が答になります。

草加寺子屋 新学習プリント素因数分解パズル3

草加寺子屋 新学習プリント 素因数分解パズル

計算問題だけでは、つまらないので、新しい問題を追加しました。

素因数分解パズルの例題

下の画像の16マスに1～9の数字を入れ、横行の４個の数字の積が、右の数字と一致し、縦列の４個の数字の積が、下の数字と一致するようにします。

例題の答とヒント

素数は5年生で習います。素因数分解は中学1年生で習いますが、5年生でも理解できます。

素因数分解とは、ある数を素数のかけ算で表す事です。

右の数字を素因数分解。下の数字を素因数分解する。2の倍数、5の倍数は簡単に見分けられるので、この例題では、以下の素因数分解を意識しなくても、できます。

• 15=3×5
• 18=2×3×3
• 30=2×3×5

• 12=2×2×3
• 30=2×3×5
• 45=3×3×5
• 15=3×5

考え方の例。横４行の積は30(2×3×5)なので、横４行のどこかに2が入ります。しかし、縦Ｃ列、Ｄ列の積は奇数なので、2が入れるのは、Ａ４かＢ４です。とりあえず、Ａ４に2を入れます。

同じ様に横３行の積は30なので、横３行のどこかに2が入ります。2が入れるのは、Ａ３かＢ３です。とりあえず、Ａ３に2を入れます。

縦Ａ列を考えると、Ａ１とＡ２には、1と3が入ります。とりあえず、Ａ１に1、Ａ２に3を入れます。

横２行の積は18(偶数)なので、横２行のどこかに、2が入ります。しかし、縦Ｃ列、Ｄ列の積は奇数なので、2が入れるのは、Ｂ２です。

横１行の積は15、縦Ｄ列の積も15なので、Ｄ１に5を入れてみます。

横３行の積は30、縦Ｂ列の積も30なので、Ｂ３に5を入れてみます。同様に、横４行の積は30、縦Ｃ列の積は45なので、Ｃ４に5を入れてみます。

残りの８マスには、1、3、9が入ります。適当にやっても答に到達できます。

例題の答のうちの１つが下図です。答は、これ以外もあります。

素因数分解パズルの問題1

1が使えると、答が複数 出易くなります。なので、ここからの問題は、1を使わないというルールにします。素数に１を入れない理由と関係します。

右と下にある「3557」などの数字は、525=3×5×5×7と素因数分解されるというヒントになっています。

問題1の答とヒント

この問題に対する答えは１つだけです。There is only one answer to this question.

問題1の答の緑の数字が確定する

横１行の積=525=3×5×5×7と素因数分解されます。つまり、横１行には、5が２個入るという事です。しかし、縦Ｂ列、Ｃ列の積は５の倍数ではないので、Ｂ１、Ｃ１に5は入れません。よって、Ａ１、Ｄ１に５が入る事になります。

縦Ｂ列の積=81=3×3×3×3ですから、縦Ｂ列の４個のマスは全て3になります。よって、Ｃ１には7が入ります。

横４行の積=135は５の倍数ですから、横４行のどこかに5が入ります。しかし、Ｃ４、Ｄ４に5を入れると縦の積が合わなくなるので、Ａ４に5が入る事になります。

問題1の答のオレンジの数字が確定する

横４行について考えます。すでに、5と3が入っているので、あと3が２個ですから、Ｃ４、Ｄ４に3が確定します。(1を使わないというルールです)

縦Ｄ列について考えます。すでに、5と3が入っているので、あと2が２個ですから、Ｄ２、Ｄ３に2が確定します。

問題1の答の赤の数字が確定する

横３行について考えます。すでに、2と3が入っているので、あと2と3が入ります。しかし、縦Ａ列の積=350は３の倍数ではないので、Ａ３には3は入れず、Ａ３に2が確定し、Ｃ３に3が確定します。

残り２マスは、7と2です。

素因数分解パズルの問題2

マスの中に入れる数字は2～9です。素数ではない4や6が入っても、かまいません。

問題2の答とヒント

この問題に対する答えは２つあります。

問題2の答の緑の数字が確定する

横１行の積=189=3×3×3×7と素因数分解されます。つまり、横１行のどこかに、7があるという事です。しかし、縦Ｂ列、Ｃ列、Ｄ列の積は7の倍数ではないので、Ｂ１、Ｃ１、Ｄ１に7は入れません。よって、Ａ１に7が入る事になります。横１行に入る残りの数字は、３個の3ですから、Ｂ１、Ｃ１、Ｄ１の3が確定します。

横３行の積=168=2×2×2×3×7と素因数分解されます。上記と同じ理由で、Ａ３に7が入る事になります。

横４行の積=150=2×3×5×5と素因数分解されます。つまり、横４行には、5が２個入るという事です。しかし、縦Ｂ列、Ｃ列の積は５の倍数ではないので、Ｂ４、Ｃ４に5は入れません。よって、Ａ４、Ｄ４に５が入る事になります。

縦Ｄ列について考えます。すでに、5と3が入っているので、残りは2と5です。横３行の積=168は５の倍数ではないので、Ｄ２に5、Ｄ３に2が確定します。

問題2の答のオレンジの数字が確定する

横２行について考えます。残りの数字は2と2と3です。縦Ａ列の積は奇数なので、Ａ２に2は入れません。よって、Ａ２に3、Ｂ２、Ｃ２に2が入る事になります。

ここで、残ったマスは、Ｂ３、Ｃ３、Ｂ４、Ｃ４です。

Ｂ３、Ｃ３をかけると１２になるので、Ｂ３、Ｃ３は、3と4か2と6です。

問題2の答 その1

Ｂ３、Ｃ３が、3と4の場合。

Ｃ３に4が入ると、縦Ｃ列の積が36になれないので、4はＢ３に、3はＣ３に入り、下図が答になります。

問題2の答 その2

Ｂ３、Ｃ３が、2と6の場合。

Ｃ３に6が入ると、Ｃ４に1が入り、マスの中に入れる数字は2～9というルールに反するので、6はＢ３に、2はＣ３に入り、下図が答になります。

草加寺子屋 新学習プリント素因数分解パズル3

草加寺子屋の新学習プリント 素因数分解 倍数

「算数は答を求めるもの」と、思ってはダメです。

素数は5年生で習います。素因数分解は中学1年生で習いますが、5年生でも理解できます。

２００１９１１８４６を素因数分解する

次の　　　　　　　　に入る数字を答えよ。

1. 2001911846÷11=　　　　　　　　　　　
2. 2001911846÷11÷11=　　　　　　　　　　 上の問題の答を使えば、簡単です。
3. 2001911846÷11÷11÷11=　　　　　　　　　 上の問題の答を使えば、簡単です。
4. 2001911846÷11÷11÷11÷2=　　　　　　　　 752033は素数です。

２００１９１１８４６＝１１×１１×１１×２×７５２０３３と素因数分解されました。素因数分解とは、ある数を素数のかけ算で表す事です。

下の画像は、２００１９１１８４６の素因数分解を筆算で行なったものです。

２００１９１１８４６を素因数分解するの答

Ｂ.１６５４４７２６、Ａ.１８１９９１９８６、Ｃ.１５０４０６６、Ｄ.７５２０３３です。次の説明の為に順番を入れ替えてあります。

高校でも習わない１１の倍数の見分け方

上の答(ＢとＡ)とＡ.の問題の２００１９１１８４６は、全て、１１の倍数です。

１１の倍数の見分け方には、3種類ありますが、ここでは、計算が簡単な方法で説明します。(下から数えて)奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和を計算します。結果が１１の倍数か、どうかで判断します。(０も１１の倍数です)

• 16544726の場合。奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和=
  (6+4+7+6)－(1+5+4+2)=23－12=11(=11×1)
• 181991986の場合。(1+1+9+9+6)－(8+9+1+8)=26－26=0(=11×0)
• 2001911846の場合。 (0+1+1+8+6)－(2+0+9+1+4)=16－16=0(=11×0)

16544726、181991986、2001911846は、１１の倍数です。

証明など詳しくは11の倍数の見分け方 足す方法と引く方法へ

11の倍数に関する問題（ジュニア数学オリンピックに出る小学生には難しい問題）

1. 3桁の数字【□３５】の□に0～9の数字を入れて、11の倍数にします。何を入れたら良いでしょう。
2. 6桁の数字、【３１４□１５】の□に0～9の数字を入れて、11の倍数にします。何を入れたら良いでしょう。

11の倍数に関する問題の答

1. 上記の方法でやると、□３５。奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和=(□+5)－3=□+2が11の倍数になればよいので、□=9です。

2. ３１４□１５。奇数桁目の数の和－偶数桁目の数の和=(1+□+5)－(3+4+1)=□－2が11の倍数になればよいのですが、□－2=11とは、なれないので、□－2=0です。よって、□=2です。

4の倍数に関する問題（小学生でもできる問題）

1. 1から1000までの整数のうち、4の倍数は、何個ありますか。
2. 1から1000までの4の倍数のうち、小さい方から100番目の数は何ですか。

4の倍数に関する問題 の答

1. 答：２５０個。
   １番目の4の倍数=4=4×1。２番目の4の倍数=8=4×2。……２５０番目の4の倍数=1000=4×250。
2. 答：100番目の数は４００：
   １番目：4×1=4。２番目：4×2=8。……100番目：4×100=400。

最大公約数と最小公倍数と素因数分解(あくまで参考)

最大公約数と最小公倍数を求める 以下のやり方を覚えてはダメです。
２４と６０を素因数分解すると、

２４=２×２×３×２(素因数分解は素数を小さい順に並べますが、ここでは順番を変えています)

６０=２×２×３×５

２４と６０の共通の素因数は２×２×３で、これが最大公約数１２になります。

この１２に、共通でない２と５をかけると最小公倍数１２０になります。

１を素数に入れないのは、素因数分解の一意性を保つ為

１を素数に入れないのは、素因数分解が１通りに決まらないからです(素因数分解の一意性という)。

６０=２×２×３×５ですが、１を素数に入れると、６０=２×２×３×５×１=２×２×３×５×１×１などのように、無限通りの素因数分解ができてしまいます。そうすると、大学院の数学レベルで、やっかいな事が起きるそうです。

倍数の判定法いろいろ

• ３の倍数の判定法。各位の数を足して３の倍数になるかどうかで判定する。

  例：１６１４の場合、１＋６＋１＋４＝１２。１２は３の倍数なので、１６１４は、３の倍数である。

• ４の倍数の判定法。下２桁だけで判定する。

  例：・・・３６。・・・にどんな数字があろうとも、下２桁の３６を見て、４の倍数と判定する。・・・をA、下２桁をBとすると、・・・３６＝100A＋B＝4×25A＋Bと表せる。Bが４で割り切れれば、100A＋Bも４で割り切れる

• ６の倍数の判定法。３の倍数かつ２の倍数であればよい。

  例：１６１４。１の位が４（偶数）であるから２の倍数、よって、１６１４は６の倍数。

• ８の倍数の判定法。下３桁だけで判定する。

  例：・・・１３６。・・・にどんな数字があろうとも、下３桁が１３６（８の倍数）なので、８の倍数と判定する。

• ９の倍数の判定法。各位の数を足して判断する。

  例：１６８３の場合、１＋６＋８＋３＝１８。１８は９の倍数なので、１６８３は、９の倍数である。

  説明：ABCDと並ぶ４桁の数は1000A+100B+10C+D＝999A+99B+9C+A+B+C+Dと表せる。下線の部分は、明らかに９の倍数だから、A+B+C+Dが９の倍数かどうかで決まる。

草加寺子屋の学習プリントは学習指導要領を無視しているか

以下は、草加寺子屋の学習プリント(2019年度)の小学３年生と小学４年生の割り算の問題(二桁の数を一桁の数で割る)です。作成したのは、草加市教育委員会です。

小学３年生の割り算の問題 9月 1学期の復習３

1. １５÷２
2. ２３÷５
3. ６９÷７
4. ３４÷６

小学４年生の割り算の問題 9月 1学期の復習２

1. ９４÷６
2. ８７÷５
3. ７５÷４
4. ９６÷７

学習指導要領を無視しているように見える

除数が１位数(１桁の数)で被除数が２位数ですから、一見、違いが無いように見えます。どちらも、9月に配られた1学期の復習プリントです。

問題を作成した草加市教育委員会は、３年生と４年生に同じような問題を出題しているので、文部科学省の学習指導要領を無視しているように見えます。しかし、割り算が当たり前にできる大人には判りづらい、微妙な差があります。

学習指導要領では、３年生と４年生の除法にどのような差があるのでしょうか。

小学３年生のあまりがある問題

除数が１位数で被除数は２位数です。ただし、乗法九九を１回用いて商を求める計算です。判り易く言うと、被除数の15，23，69，34は、九九の範囲に収まります。

小学４年生のあまりがある問題

除数が１位数で被除数は２位数です。ただし、乗法九九を１回用いただけでは、商を求められない計算です。94は6の段になく，87は5の段に，75は4の段に，96は7の段にありません。

学習指導要領を無視している訳ではないかも

詳しく見ると、３年生の問題より、４年生の問題の方がレベルが少し高くなっています。ただ、３年生の問題が「乗法九九を１回用いて商を求める計算」で、４年生の問題が「乗法九九を１回用いただけでは、商を求められない計算」だという事を、教育委員会が意識して出題しているかは判りません。

小学校学習指導要領解説（平成29年告示）算数編

小学校学習指導要領解説は、文部科学省が2018年に出版しました。

小学校学習指導要領解説には、以下のように書かれています。

第３学年では，12÷３，13÷３などのような乗法九九を１回用いて商を求める計算及び 80÷４，69÷３のような簡単な２位数を１位数で割る計算を扱ってきている。

第４学年では，除数が１位数や２位数で被除数が２位数や３位数の除法について考える。

学習指導要領の各学年の目標及び内容

小学校学習指導要領解説には、以下のように書かれています。

第3学年の内容：除数と商が共に1位数である除法の計算が確実にできること。簡単な場合について，除数が1位数で商が2位数の除法の計算の仕方を考えること。

第4学年の内容：除数が1位数や2位数で被除数が2位数や3位数の場合の計算の仕方を考え，それらの計算が基本的な計算を基にしてできることを理解すること。また，その筆算の仕方について理解すること。

草加寺子屋の問題に関連する外部リンク

• 草加寺子屋の算数の問題と解答の誤り
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草加寺子屋の学習プリントに英単語や歴史を追加

英語教育は2020年度から全国の小学校で全面実施されています。5,6年生の英語は、年間70単位(45分授業が70回)実施されています。現在、草加寺子屋の学習プリントは国語と算数だけですが、英単語や歴史を追加すれば、児童の興味関心が広がります。

英単語の語源

英単語の語源を知る事は、後々の高校での英語に役立ちます。

英単語の月の名前

月の名前にはその国の特徴が表れますが、英語も例外ではありません。外国語の背景にある歴史や文化に対する理解を深めれば、英語学習も楽しくなるはずです。

文部科学省が作成した参考図書”We Can!”には、全ての月が載っています。１月から６月までは、ローマ神話やギリシア神話に関係する為、小学生には難しいので、７月以降を解説します。

September(９月)以降の月の名前は「ber」で終ります。

9. September セプトはセブンなので、元々は７月
10. October オクトは８なので、元々は８月(octopusタコ＝octo８＋pus足)
11. November ノブはナインなので、元々は９月
12. December デクは10なので、元々は１０月(1デシリットルは10分の1リットル)

No.	元々 紀元前153年以前	紀元前153年以後から現在
1	神の名からMarch	神の名からJanuary
2	神の名からApril	神の名からFebruary
3	神の名からMay	神の名からMarch
4	神の名からJune	神の名からApril
5	5番目の月	神の名からMay
6	6番目の月	神の名からJune
7	セブン月September	5番目の月→Julius
8	オクト月October	6番目の月→Augustus
9	ナイン月November	(7+2)September
10	デク月December	(8+2)October
11	神の名からJanuary	(9+2)November
12	神の名からFebruary	(10+2)December

９月以降は、全て２カ月ずつ後ろへ、ずれています。

古代ローマは農耕暦だったので、年の始まりが3月1日で、Marchが先頭でした。紀元前153年に、年の始まりを1月1日に移したので、JanuaryとFebruaryが先頭に来て、２カ月ずれました。

正確ではありませんが、ややこしいので、「シーザーとアウグスツスが自分の生まれ月に勝手に名前をつけて割り込ました。」と言う人もいます。英単語の語源とラテン語

７月と８月

紀元前8年に、古代ローマの二人の権力者Julius CaesarとアウグストゥスAugustusが自分の誕生月に自分の名前をつけました。

7. July Julius Caesar(ジュリアス・シーザー)の誕生月。シーザーの後継者が次のアウグストゥス。
8. August 初代ローマ皇帝Augustus(アウグストゥス)の誕生月

支配に重要な月の名

上の図は、２世紀頃のローマ帝国の支配地域(wikipediaより)
ラテン語は、ローマ帝国の支配層が使っていた言葉で、西ヨーロッパの多くの地域の言語に影響を及ぼしました。

ローマ帝国にとって重要な月の名は、各国でほとんど同じですが、重要でない「いちご」は、各国で統一されませんでした。

日本語	英語	フランス語	ドイツ語	ポルトガル語
９月	September	Septembre	September	Setembro
10月	October	Octobre	Oktober	Outubro
11月	November	Novembre	November	Novembro
12月	December	Decembre	Dezember	Dezembro
いちご	Strawberry	Fraise	Erdbeere	Morango

ポッ、パッ、ペッが足を表す英単語

メタンの立体構造の画像はwikipediaより

• ポッ：tetra podテトラポッド＝tetra4＋pod足。海岸の防波堤に使われるが、中心から四つの足が出ている。CH₄メタンの立体構造も同じ。中心のC原子からH原子に向かって、共有結合が伸びている。
• パッ：octopusタコ＝octo８＋pus足
• ペッ：pedalペダルは足で踏む
• ペッ：pedicureペディキュア。足の爪にマニキュアを塗る
• ペッ：centipede百足ムカデ＝centi100＋pede足。センチcm=百分の１m。

単位の接頭語の語源

m（ミリ） c（センチ）などメートル法の接頭語については、小学校６年で学びます。

• m（ミリ）＝ 1 1000 。１mm＝ 1 1000 １m。１mg＝ 1 1000 １g。
  ラテン語のmille 1000＋語尾「i」＝ 1 1000
• c（センチ）＝ 1 100 。１cm＝ 1 100 １m。
  ラテン語のcent 100＋語尾「i」＝ 1 100
  centuryは百年。１ドルは百cent。パーセントは百につき。（per centのperは「につき」という意味）。centupleは百倍。
• d（デシ）＝ 1 10 。１dL＝ 1 10 １L。
  ラテン語のDec 10＋語尾「i」＝ 1 10
  Decemberは元々10月でした。

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草加寺子屋学習プリントの速度の問題を解く

以下は、草加寺子屋の学習プリント(2019年度)の問題と解答です。

画像の部分は、草加市教育委員会が作成した教科書的解答です。青囲みの部分が判り易い解答です。このやり方は、中学、高校の化学でも使えます。モル濃度(mol/L)は、mol÷Lで求められます。

道のり、速さ、時間の関係

道のり、速さ、時間の計算をするには、次のどれが良いでしょう。「みはじ」の公式を覚える。スピードメーターを見る。時速とは1時間あたりに進む距離。

「みはじ」の公式

Ａ 道のり(km) Ｂ 速さ(km/h)×Ｃ 時間(h) を覚えておいて、Ａ 道のり(km)を隠すと、 Ｂ 速さ(km/h)×Ｃ 時間(h)。

Ｂ 速さ(km/h)を隠すと、 Ａ 道のり(km) Ｃ 時間(h) 。　Ｃ 時間(h)を隠すと、 Ａ 道のり(km) Ｂ 速さ(km/h) 。

「みはじ」の公式を覚えるのは、思考停止になるのでダメです。

スピードメーターのkm/h

自動車や電車の運転席のスピードメーターには、km/hという表示があります。これを見る体験をすれば（頭で覚えるのではなく）、時速はkm÷h(hour)だという事が、自然に画像として記憶に残ります。

/は÷という意味です。

時速＝ 道のり(km) 時間(h) 。hourをminute、kmをmに代えれば、分速＝ 道のり(m) 分(minute) になります。

メカジキは３時間で３２４ｋｍのきょりを泳ぐことができます。（１）このメカジキの時速を求めましょう。時速＝ 324km ３時間 ＝時速１０８ｋｍ

（２）このメカジキの分速を求めましょう。分速＝ 324000m 180分 ＝分速1,800m

モル濃度(mol/L)

モル濃度＝ mol L 。５Lの溶液中にブドウ糖C₆H₁₂O₆(分子量＝180)360gが溶けている。この溶液のモル濃度は？ブドウ糖のモル数＝２。モル濃度＝２÷５＝0.4mol/L

時速とは1時間あたりに進む距離 これが最重要

「時速とは1時間あたりに進む距離」これを理解する事が最重要。

＼	時速の意味	問題
時間	１時間	Ｘ時間
道のり	２０ｋｍ	300km

時速２０ｋｍの意味は、１時間あたりに２０ｋｍ進むという事です。
左の表を横に見ると、２０の１５倍が300なので、１の１５倍がＸとなります。
表を縦に見ても、同じ事になります。答 Ｘ＝１５

＼	秒速の意味	時速の意味→	単位を揃えた時速
時間	１秒	１時間→	3600秒
道のり	70m	Ｘkm→	Ｘ×1000m

左の表を横に見ると、１秒の3600倍が3600秒なので、70mの3600倍がＸ×1000mとなります。
70m×3600=Ｘ×1000m。答 Ｘ＝２５２

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草加寺子屋学習プリントの比の問題を統一的に解く

以下は、草加寺子屋の学習プリント(2019年度)の問題と解答です。

画像の部分は、草加市教育委員会が作成した教科書的解答です。青囲みの部分が判り易い解答です。このやり方は、中学、高校の化学でも使えます。

水の電気分解の問題での比の応用

水の電気分解の反応式：２H₂O→２H₂＋１O₂。H₂のモル：O₂のモル＝２：１なので、生じるH₂とO₂の体積比は２：１である。水を電気分解して、H₂12cm³が生じる時、発生するO₂は何cm³か。

＼	H2	O2
体積比	２	１
体積	12cm3	Ｘcm3

２：１＝12：Ｘ。内項の積＝外項の積から、１×12＝２×Ｘとは、やらない。
左の表を縦に見て、２の６倍が12なので、１の６倍がＸとなります。
左の表を横に見ても、同じ事になります。答 ６cm³

時間、分の比の問題

＼	基本の関係	問題
時間	1時間	Ｘ時間
分	60分	45分

表を下から上に見て、60分の60分の1倍が１時間なので、45分の60分の1倍がＸとなります。 答 45× 1 60 ＝ 3 4 時間。　ポイントは横の行の単位を揃える。

＼	基本の関係	問題
時間	1時間	Ｘ時間
分	60分	160分

２時間４０分＝160分。表を下から上に見て、60分の60分の1倍が１時間なので、160分の60分の1倍がＸとなります。Ｘ=160× 1 60 = 8 3 。 答 ２ 2 3 時間

内項の積と外項の積が関係する比の問題

１０	１５
Ｘ	３

(1)10：15＝Ｘ：3。左の表で、15の 1 5 倍が3なので、10の 1 5 倍がＸとなります。答 Ｘ=2

５	７
Ｘ	140

(3)５：７＝ｘ：１４０。左の表で、７の20倍が140なので、５の20倍がＸとなります。
答 Ｘ=100。(1)も(3)も、同じやり方です。

速さの問題も比で解く

＼	分速の意味	問題
時間	１分	Ｘ分
道のり	２７m	８１m

分速２７ｍの意味は、１分間に２７ｍ進むという事です。
左の表を横に見ると、２７の３倍が８１なので、１の３倍がＸとなります。
表を縦に見ても、同じ事になります。答 Ｘ＝３

＼	秒速の意味	問題
時間	１秒	Ｘ秒
道のり	７０m	6300m

秒速７０ｍの意味は、１秒間に７０ｍ進むという事です。
左の表を横に見ると、70の90倍が6300なので、１秒の90倍がＸとなります。
表を縦に見ても、同じ事になります。答 Ｘ＝90秒

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草加寺子屋学習プリントの問題を教科書にない方法で解く

以下は、草加寺子屋の学習プリント(2019年度)の問題と解答です。

画像の部分は、草加市教育委員会が作成した教科書的解答です。青囲みの部分が判り易い解答です。このやり方は、中学、高校の理科でも使えます。

化学の問題での比の応用

化学では、物質の質量や体積が比例関係になる事が多い。比３：２＝６：４も比例関係にある。

２H₂＋O₂→２H₂O。H₂の分子量＝２、O₂の分子量＝３２なので、水ができる時のH₂とO₂の質量比は４：３２である。H₂12gから水ができる時、反応するO₂は何gか。

＼	H2	O2
質量比	４	32
質量	12g	Ｘg

４：３２＝12：Ｘ。内項の積＝外項の積から、32×12＝４×Ｘとは、やらない。
左の表で、４の３倍が12なので、32の３倍がＸとなります。答 96g。
ポイントは横の行の単位を揃える。

算数の基本的な比の問題

＼	縦	横
比	４	７
長さ	24cm	Ｘcm

４：７＝24：Ｘ。内項の積＝外項の積から、７×24＝４Ｘとは、やらない。
左の表で、４の６倍が24なので、７の６倍がＸとなります。答 42cm。
ポイントは横の行の単位を揃える。

＼	縦	横
比	４	７
長さ	25cm	Ｘcm

４と25cmの時は、７の４分の25倍がＸとなります。

　

全体が関係する比の問題

＼	土地A	土地B	AB全体
比	５	３	８
面積	Ｘm2	Ｙm2	72m2

AB全体の比は5+3=8。
左の表で、８の９倍が72なので、５の９倍がＸ、３の９倍がＹとなります。
答 45m²と27m²　教育委員会の答では、指数の下線が上付きになっている。
小学校の先生がプログラミングを教えるのは無理だ。

＼	縦	横	周の長さ全体
比	３	２	10
長さ	Ｘcm	Ｙcm	60cm

縦３、横２の長方形の周の長さの比は（３＋２）×２＝１０です。
左の表で、10の６倍が60なので、３の６倍がＸとなります。答 18cm

＼	当たり	はずれ	くじ全体
比	３	７	10
長さ	Ｘ個	Ｙ個	120個

当たり３、はずれ７なので、くじ全体の比は１０です。
左の表で、10の12倍が120なので、３の12倍がＸとなります。
答 36個

＼	けんた	兄	二人の合計
比	４	５	９
長さ	Ｘ円	Ｙ円	720円

二人の合計金額（トランプの代金）の比は４＋５＝９です。
左の表で、９の80倍が720なので、４の80倍がＸ、５の80倍がＹとなります。答 けんた 320円 兄 400円

草加寺子屋の問題に関連する外部リンク

• 不適切な草加寺子屋の諸問題
• 草加寺子屋で配られる学習プリントは適切か

草加寺子屋の算数の問題と解答の誤り

草加寺子屋で2022年7月23日(土)に出題された小学校６年生の算数の問題と解答です。これは、草加市教育委員会が、2019年度の問題と解答を流用して作成したものです。この３年間、誤りを指摘しても、一向に訂正されません。

2022年7月23日比を簡単に

「次の比を簡単にしましょう」という問題です。（３）の解答は、誤りです。

（１）０．３：０．５ ＝３：５ （それぞれ１０倍する）正しい。
（２）１．５：３ ＝３：６＝１：２ （それぞれ２倍して３で割る）正しい。
（３） 5 6 ： 2 9 ＝ 15 18 ： 4 18 ＝１５：４ （通分してそれぞれ１８で割る）誤り。

正しくは、（通分してそれぞれ１８をかける）です。この単純な誤りが３年間、訂正されず、使われ続けてきました。

2019年度の小学6年生 10月2回 たしかめ問題NO.2を流用して、2022年7月23日に草加寺子屋で、出題されました。

2022年7月23日比の値を簡単に

「比の値を簡単にしましょう」という問題です。全て、誤りです。「比の値を簡単にする」が「比を簡単にする」になっています。

（１）１８：４２ ＝３：７ （それぞれ６で割る）３：７は、比そのもので、比の値では、ありません。
（２）５４：４２ ＝９：７ （それぞれ６で割る）
（３）０．４：１．６ ＝１：４ （それぞれ 10 倍して４で割る）
（４）２．５：３ ＝５：６ （それぞれ 2 倍する）

この問題は、2019年度の小学6年生 10月2回 やってみよう1を流用して、2022年7月23日に草加寺子屋で、出題されました。

草加寺子屋の問題に関連する外部リンク

• 不適切な草加寺子屋の諸問題
• 草加寺子屋で配られる学習プリントは適切か
• 草加寺子屋2012年から2022年度の諸問題 アルコール消毒液

草加寺子屋学習プリントの問題の誤りと使いまわし

以下は、草加寺子屋の学習プリント(2019年度)の問題と解答です。草加市教育委員会が作成しました。

解答と問題の誤り

下の画像は、草加寺子屋の「小学6年生８月１回 たしかめ問題 NO.1」と「小学6年生６月 たしかめ問題 NO.1」です(2019年度)。

「８月１回 たしかめ問題 NO.1」の最終的な解答は正しいですが、途中の解答は誤りです。掛け算の記号「×」は割り算の記号「÷」であるべきです。気がつきにくい単純ミスですが、この単純な誤りが３年間、訂正されず、使われ続けてきました。

「６月 たしかめ問題 NO.1」の三角形は存在しません。こんな事に気がつかない教育委員会は数字に対する感度が鈍いのです。

2019年度の小学6年生の問題と解答の誤り

1. 小学６年生１０月２回 たしかめ問題NO.2の２の(3)
2. 小学６年生１０月２回 やってみよう1の２
3. 小学６年生８月１回 たしかめ問題 NO.1の２の(10)
4. 小学６年生６月 たしかめ問題 NO.1の７の(2)

６年生の算数の問題だけで、少なくとも４か所に誤りがありました。問題なのは、この誤りが2022年度の学習プリントでも訂正されていない事です。

草加市内には21の小学校があり、それぞれで草加寺子屋が開催され、同じ学習プリントが使われています。ですから、誤りに気がついた運営管理員・学習支援員・児童がいるはずです。その報告が教育委員会に届いていないのでしょうか。

使いまわし

下の画像は、草加寺子屋の「８月２回 やってみよう2」(画像の左)と「９月 1学期の復習4」(画像の右)です。左右が全く同じです。(2019年度)

この手抜きに気がついた児童は、何を感じるでしょうか。ただでさえ、算数の学習プリントは同じような問題が繰り返されます。30人相手の学校の授業では、それもで良いでしょう。しかし、土曜日に寺子屋に出席する児童は、概ね学習能力が高いのです。単純な計算の練習だけでなく、算数、数字に興味関心を持つような問題も必要です。例えば、算数オリンピックの中の簡単な問題など。

草加寺子屋の問題に関連する外部リンク

• 不適切な草加寺子屋の諸問題
• 草加寺子屋2012年から2022年度の諸問題 アルコール消毒液
• 草加寺子屋 新学習プリント素因数分解パズル3